Une entreprise utilise un modèle exponentiel pour estimer la dégradation d'un équipement au fil du temps.

La fonction de dégradation de l'équipement est donnée par $$D(t) = D_0 e^{-kt}$$, où $D(t)$ représente le niveau de dégradation au temps $t$, $D_0$ est le niveau de dégradation initial et est positif, et $k$ est un paramètre de dégradation.

1. Calculez la dérivée de la fonction $D(t)$ par rapport à $t$
2. Déterminer le tableau de variation dans le cas où $k$ est positif.
3. Déterminer le tableau de variation dans le cas où $k$ est négatif.
4. Déterminez les conditions sur $D_0$ et $k$ pour garantir que la dégradation atteint un niveau inférieur à une certaine limite après un temps donné.
5. Utilisez une intégrale pour calculer la quantité totale de dégradation sur une période donnée $[0, T]$, où $T$ est le temps total d'observation.
6. Déterminez la limite de $D(t)$ lorsque $t$ tend vers l'infini en fonction des valeurs de $D_0$ et $k$.